طراحی و تحلیل اجزای رمزهای متقارن: عملگرهای پیمانه ای‏، توابع دودویی برداری و لایه های انتشار ‏بهینه

در این رساله به پژوهش در زمینه ی اجزا و مولفه های رمزهای متقارن پرداخته ایم. در ابتدا عملگرهای جمع و ضرب و نیز نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را بررسی کرده ایم: توزیع احتمال چندگانه ی بیت های نقلی عملگر جمع را محاسبه کرده، درجه ی جبری و تعداد جملات در ‎anf‎ نگاشت جمع با یک ثابت را به دست آورده ایم. توزیع احتمال چندگانه ی توابع مولفه ای عملگر ضرب را ‏محاسبه کرده ایم. پس از ارائه ی معیاری جهت بررسی ناترازی نگاشت ها، ناترازی عملگر ضرب و نیز ناترازی تحدید این عملگر به بیت های بالایی آن را محاسبه کرده ایم؛ نیز کرانی پایینی برای درجه ی جبری توابع مولفه ای عملگر ضرب ارائه داده ایم. توزیع احتمال توابع مولفه ای نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را به دست آورده و با استفاده از معیار معرفی شده، ناترازی نگاشت مجذور و توابع مولفه ای آن را محاسبه نموده ایم. در ادامه، توابع دودویی برداری را مطالعه کرده ایم. ابتدا حملات خطی و تفاضلی و تعمیم های آنها از منظر ریاضی را بررسی کرده و علاوه بر تبیین مبانی ریاضی حملات خطی و تفاضلی سنتی، ویژگی های خطی-تفاضلی و نیز خواص دوبعدی خطی و ناخطی جدیدی را برای ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن ارائه نموده ایم. سپس، به ساخت ‎sbox‎ های ‎16‎- بیتی با ویژگی های جبری و آماری مطلوب از دیدگاه رمزنگاری و با قابلیت پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن پرداخته ایم؛ نیز روش هایی جهت تصادفی سازی ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن، بر اساس ‎iv‎، ارائه داده ایم. در ادامه به بررسی لایه های انتشار mds‎ پرداخته و انواع جدیدی از لایه های انتشار خطی، خطی سرشت و ناخطی را ارائه نموده ایم. خانواده ای از لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds از مرتبه ی 4 را ساخته و بر اساس آن، روشی جهت تصادفی سازی لایه های انتشار خطی سرشت سنتی ارائه کرده ایم. پس از آن لایه های انتشار ‎mds‎ ناخطی با قابلیت پیاده سازی بهینه در پردازنده های مدرن را مورد مطالعه قرار داده، خانواده ای از لایه های انتشار ناخطی ارائه کرده ایم: به کمک این خانواده، می توان لایه های انتشار با اندازه ی بزرگ و پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن ساخت؛ همچنین این خانواده از لایه های انتشار، قابلیت تصادفی سازی بر اساس ‎iv‎ در رمزهای متقارن را دارد. سپس به لایه های انتشار با درایه های صفر و یک پرداخته و قضیه ای را در این حوزه اثبات نموده ایم. پس از آن لایه های انتشار خطی سرشت mds رمزهای متقارن loiss‎ ،sms4 و ‎zuc‎ را بررسی کرده، شکل ماتریسی این لایه های انتشار را ارائه داده ایم. در پایان با استفاده از مدول ها روی حلقه های متناهی جابجایی و یک دار، به ساخت لایه های انتشار خطی سرشت و ناخطی جدید با استفاده از عملگرهای جمع و ضرب پیمانه ای پرداخته ایم و نیز لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds‎ بهینه از دیدگاه پیاده سازی را ارائه نموده ایم.